החיפוש אחר פצצת המימן הרביעית או איך למצוא את אלוהים

24/09/2012 ב- 10:39 | פורסם בהספרייה המדעית, השוליים המתרחבים של קו אינסופי | סגור לתגובות על החיפוש אחר פצצת המימן הרביעית או איך למצוא את אלוהים
תגים:

האם הגיתם אי פעם על מבקשי נפשו של הכופר רנה דקארט, שבכל איגרותיו נהג לרשום 'מען שולח' בדוי ושונה מקודמו, כדי שאנשי הדת ירדפו אחרי הרוח? והאם הרהרתם על גנים ללוחמה נגד טפילים שיורשים הצאצאים, אך סביבתם משתנה מדור לדור, והם דולקים אחר סנרק חמקמק בתנאים ששררו בימי ההורים? והאם זוהי הוכחה שהאדם לא נברא בשלמותו על ידי אלוהים? הבה נצא לבדוק.


בשנת 1965 פרסם רופוס פיליפ אייזקס את ספרו 'משחקים דיפרנציאליים'. אחד מאלה שדן בהם נעשה מן הידועים ביותר בתורת המשחקים, יתכן גם בגלל כינויו. הוא קרוי "משחק הנסיכה והמפלצת". אייזקס ביקש לפתח וריאציה מסובכת של אחת הבעיות המפורסמות ביותר בתולדות האדם: כיצד למצוא דבר-מה שלא ניתן לראותו? משהו זה יכול להיות שרוי בעלטה או הרחק מן העין, וכמו רבים לפניו תהה גם הוא מהי השיטה האופטימלית להשיג אותו. אייזקס הניח כי קיים פתרון מתמטי לבעיה, אך הוא לא ידע מהו.

אולי למעט האסקימואים שבונים את ביתם מקרח, לכל שאר בני האדם ישנה חוויה משותפת אחת לפחות. מתישהו הם חיפשו אחר מפתח. ברבות השנים פותחו טקטיקות עזר שונות ומשונות שתועלתן מעולם לא הוכחה. היו שסברו כי שתיית מיץ גזר לפני השינה מועילה לזיכרון; היו שחיברו חיישן אור שגם מצפצף בכל פעם שאינו מצוי בחשכה, אם בכיס או בתוך הארנק; אבל המפתחות התגברו גם על כך ופשוט נעלמו.

כשרובנו מחפשים אחריהם, אנו יודעים שהמפתחות נמצאים היכן שהוא, והם לא יזוזו ממקומם. הם ימתינו בשלווה עד שנמצא אותם – לאחר שהספקנו לפרק את הארון לגורמיו, למרוט שערות, ולצווח עד שהשכנים החלו לדפוק על הדלת. אבל לפני שנה בדיוק (פחות יום) אירע מקרה מוזר. בערב יום הכיפורים התברר לתדהמת ידידי כי מפתח הבית נותר אצל חברתו, וזו פוסעת לה ברחובות ההומים אדם. איפה הוא ימצא את המפתח? איך יאתר את הגברת המגונדרת בינות לקהל הרב? היה עליו למצוא מפתח מהלך. חשבו נא תחילה על הקושי למצוא מפתח נייח, ועתה שוו בנפשכם לאיזו בעיה עוד יותר קשה נקלע פתאום הבחור.

ישתה מיץ גזר ככל שירצה, ימלא את הבית כולו בצפצפות, אבל לא יוכל לשנות את הנתון הבעייתי ביותר: ביום הכיפורים לא לקחה עימה חברתו את הטלפון הסלולרי שלה. ידידי היה נואש.

החיפוש אחר דבר-מה נע ונד עשוי להיות מייאש ביותר. רוב האנשים היו מוותרים על הניסיון הזה מלכתחילה, אבל אייזקס הגדיל לעשות. הוא ביקש לדעת איך מפלצת תוכל להשיג את הנסיכה באפלה, כאשר לבת המלך ישנה אסטרטגיה שתמנע ממנו לתפוס אותה אי פעם. אייזקס ביקש להדגים מהו חיפוש נצחי אחר עקבות שמובילות לשום מקום. ובמילים אחרות, מנעול שלא נוצר עבורו מפתח, ועכשיו לכו וחפשו אחריו.

ארבע-עשרה שנה אחרי כן, בשנת 1979, הציג שמואל גל את האסטרטגיה של הנסיכה. אם הוד מעלתה נמצאת בחדר אפל יחד עם המפלצת, הדרך היחידה שתמנע ממנו לצוד אותה היא לנוע באקראי למקום כלשהו שהמפלצת אינה מצויה בו, לשהות שם מעט זמן, ושוב לנוע באקראי, וחוזר חלילה. המפלצת תשעט תמיד לעבר המקום שקיימת ההסתברות הגבוהה ביותר שנמצאת שם הנסיכה, אבל זו תמיד תהא הסתברות נמוכה יותר מאשר ההסתברות שהנסיכה תרצה להישאר שם באותו הזמן. מבחינה אסטרטגית, לרדוף אחר האקראיות מבלי להיות מודע לה, זהו מרדף שווא.

מחצית השעה אחר כך הגיעה חברתו אל פתח הבית, אבל היא לא מצאה אותו שם. שלושים דקות לפני כן היא לפתע נזכרה שהמפתח נמצא אצלה, ומיד פנתה לחפש את החבר שלה במקום שציפתה למצוא אותו. בזמן ההוא, ידידי פסע ברחובות כדי לאתר אותה ולקבל לידיו את המפתח. מדוע היא שבה הביתה? האסטרטגיה שלה היתה למצוא את החבר שלה במקום שלדעתה היתה ההסתברות הגבוהה ביותר ששם יימצא. משלא מצאה אותו, היא שבה על עקבותיה וחזרה למקום שבו שהו חברותיה. היא ציפתה למצוא אותו מפני שלדעתה היתה הסתברות גבוהה ששם יימצא בגלל נוכחות חברותיה. אבל הוא נע באקראי ממקום למקום, שוהה זמן-מה במקום כלשהו וממשיך הלאה. הוא בכלל לא ידע היכן נכחה עם חברותיה. מנקודת ראות הפוכה, ניתן לקבוע שהוא התחמק ממנה והיא רדפה אחריו לשווא. הוא היה "הנסיכה" והיא היתה "המפלצת".

שאלתי את שניהם כעבור כמה שבועות, כשנודע לי סיפורם, מדוע לא השאירו פתק על דלת הבית. ענתה לי חברתו: אלוהים לא רצה שנמצא אחד את השנייה בזמן ההוא. אפילו למצוא את אלוהים באותו ערב יכול היה להיות קל יותר.

למען האמת, הבחורה צודקת, מבלי שתדע את ההוכחה המתמטית. אילו אלוהים היה נע באקראיות, לא יכולים היינו לפגוש אותו אי-פעם. כלומר, אם היתה מתבטלת הידיעה שמשה רבנו פגש פתאום את ה', יכולנו לנחש מדוע הוא אינו נגלה לנו עתה. שמואל גל מצא את ההוכחה המתמטית לאי-הסתברות זו. מסוגלים היינו להתייחס בחוסר ספקנות לקיומו של האל על סמך הוכחתו בלבד. היינו מדמים את אלוהים לאותה "נסיכה". ברם, אנו מתעקשים לטעון שמשה מצא את אלוהים, ובמו מחשבתנו יוצרים אנו תפישה שאולי סותרת את ההיגיון. לפיכך, על בסיס תפישה זו אפשר למצוא את אלוהים, ואילו למצוא את הנסיכה הוא דבר בלתי אפשרי.

ומה קורה לנו ביום הכיפורים? יש מי שמאמין שאלוהים הוא רק כוח עליון שברא את העולם ובזאת הסתיימה מלאכתו; יש מי שמאמין שהוא משמש גם כהשגחה העליונה; ויש מי שאינו מאמין בקיומו של האל כלל וכלל. בימים רגילים כולנו יחדיו, מאמינים ובלתי מאמינים, מניחים בממוצע כי ההסתברות לקיומו של אלוהים בורא היקום היא X. ביום הכיפורים חלקנו מצפה גם לחסד מן ההשגחה האלוהית. יחדיו מניחים אנו בממוצע כי ההסתברות שישנה השגחה עליונה היא Y. לאור זאת, עתה מתפתים רובנו לסבור כי ההסתברות שיוכל להתקיים החסד האלוהי, קרי היכולת למחול לנו על עוונותינו, היא גם Y. אולם, לא כך הוא הדבר. בממוצע, ההסתברות שאלוהים רב החסד ימחל לנו ביום הכיפורים היא מכפלת X ב-Y, מפני שזוהי הסתברות מותנית: אלוהים מחויב להיות קיים לפני שיוכל למחול. קרי, אם X הוא 50 אחוזים ו-Y הוא 80 אחוזים, אז הסבירות לחסד האלוהי היא 40 אחוזים בלבד.

למעשה, אנו מדגימים את 'חוק בייס': ההסתברות המותנית של מאורע Y בהינתן מאורע X היא הסיכוי להתרחשותו של Y בהנחה ש-X אכן התרחש.

החוק קרוי על שמו של תומאס בייס, התיאולוג הנוצרי שחי במאה ה-18. בספרו 'החסד האלוהי' משנת 1731, טען בייס כי מי שמאמין כי אלוהים הוא כל יכול, שברא את העולם, חייב גם להאמין בהשגחה האלוהית. אם אלוהים הוא כל יכול, אז יש לו יכולת בלתי מוגבלת ליצירת אושר. לכן, הוא ברא עולם מלא אושר ככל שיכול היה. ומהו האושר שיכול הוא להעניק לברואיו? מחילה על עוונותינו תציף אותנו באושר רב.

תומאס בייס עסק רבות בחייו, בעקבות בליז פסקל, בחישוב ההסתברויות המותנות לנוכחותו של האל, בריאת העולם על ידו, הכדאיות לקיים את מצוות האל, ורצונו למחול לנו על עוונותינו. דרך כך תרם תרומה עצומה לפיתוחה של תורת ההסתברות. שנתיים אחרי מותו, התפרסמה בשנת 1763 עבודתו הקרויה 'מאמר על פתרון בעיה בתורת הסיכויים'. שם נמצא את חוק בייס.

חוק בייס, מבלי שעלה הדבר בדעת יוצרו, מעניק לנו גם אפשרות למצוא את אלוהים. אם אלוהים אינו מתנהג כ"נסיכה", וידוע לנו שאינו מתנהג כמותה על סמך מפגשו עם משה רבנו, אזי, מבחינה הסתברותית ניתן לאתר אותו היכן שהוא.

תיאוריית החיפוש הבייסיאנית אחר דבר-מה, נניח אלוהים, מושתתת על הסדר הבא:

א. נסח מספר השערות לגבי מה שקרה לאלוהים מאז נפגש עם משה.

ב. התאם לכל השערה תבנית של התפלגות הסתברויות עבור מיקומו של האל.

ג. בנה התפלגות הסתברויות למציאת אלוהים או כל דבר-מה במיקום A כשידוע שהוא נמצא במיקום A. לדוגמא, אם אנו יודעים כיום היכן טבועה הטיטאניק, מהי התפלגות ההסתברויות שמישהו שאינו יודע את מיקומה גם יוכל למצוא אותה. דהיינו, מהם סיכויי ההצלחה שלו.

ד. שלב את המידע הנ"ל להפקת התפלגות הסתברויות כוללת, על ידי הכפלת שתי ההתפלגויות מסעיף ב' ומסעיף ג' זו בזו.

ה. בנה נתיב חיפוש שמתחיל בנקודה שבה ההסתברות הגבוהה ביותר למציאת האל, ותמשיך בסריקות באזורי הסתברויות בינוניות ולבסוף באזורי הסתברויות נמוכות.

ו. עדכן את כל ההסתברויות באופן רציף במהלך החיפוש. לדוגמה, אם החיפוש במיקום A לא הניב דבר, אז ההסתברות לכך שאלוהים נמצא שם תקטן במידה ניכרת, וההסתברויות שהוא נמצא באחד מן המקומות האחרים צריכות לגדול בהתאמה. תהליך העדכון נעשה באמצעות השיטה הבאה:

נניח שאנו מחלקים את המפה להמון ריבועים קטנים, ובריבוע מסוים ישנה הסתברות p שאלוהים נמצא שם, והסתברות q שנצליח למצוא אותו. אם חיפשנו את אלוהים באותו ריבוע ולא מצאנו אותו (למרות שקיים סיכוי קטן שהוא בכל זאת שם, כמו מפתח שנמצא בבית ולא הצלחנו לאתר אותו), אז ההסתברות המעודכנת שאלוהים נמצא באותו ריבוע היא:

עבור כל ריבוע אחר, אם ההסתברות הקודמת למציאת אלוהים (להבדיל מהימצאות) שם היתה r, הרי שלאחר העדכון, ההסתברות שהוא יימצא שם היא:

שוב אומר ואדגיש: ההסתברות למצוא את אלוהים במיקום כלשהו מורכבת מן ההסתברות שהוא באמת נמצא שם, ומסיכויי ההצלחה המשוערים שלנו. מבחינה מתמטית זוהי השיטה האופטימלית ביותר למצוא מפתח שאבד, פצצת שנעלמה במצולות וכו', והוכח שהיא פועלת במציאות ולא רק בתיאוריה. ב-17 בינואר 1966 התרסק מפציץ אמריקני מדגם B-52 מעל הים התיכון, לאחר שנכשלה התחברותו למטוס תדלוק מדגם KC-135. המפציץ נשא בקרבו ארבע פצצות מימן. שלוש מהן אותרו על היבשה בקרבת כפר דייגים ספרדי בשם פלומרס (Palomares). הפצצה הרביעית נפלה אל תוך הים. משלא נמצאה כעבור חיפוש בן כמה ימים, הזעיק חיל האוויר האמריקני את ד"ר ג'ון קראוון (John Craven) שעבד בשירות הצי. הוא נחשב למומחה במציאת עצמים שאבדו בים. קראוון בחר להשתמש בשיטת החיפוש הבייסיאנית, ובעקבות החיפושים המחודשים נמצאה לבסוף פצצת המימן הרביעית.

שנתיים וחצי אחר כך שוב הוזעק קראוון. בסוף מאי 1968 אבד הקשר עם הצוללת הגרעינית האמריקנית 'יו.אס.אס. סקורפיון'. כל מה שידוע היה מיקומה בפעם האחרונה שיצרה קשר, והערכה קלושה עד כמה רחוק יכולה היתה להפליג מאז הרגע ההוא. קראוון נזקק להשערות רבות ככל האפשר. הוא כינס אליו אנשים עם מגוון רחב של ידע – מתמטיקאים, אנשי הצלה ומומחי צוללות – וביקש מכל אחד מהם לשער היכן שקעה הצוללת בסופו של דבר, ומהי ההסתברות שההשערה תוביל למציאת הצוללת. בעזרת שיטת החיפוש הבייסיאנית הרכיב קראוון את התפלגות ההסתברויות הכוללת למיקומה של הצוללת, ויצא לחפש אותה באזור שבו היתה ההסתברות הגבוהה ביותר שתימצא. שם היא אכן נמצאה. אף אחת מן ההשערות שאסף קראוון לא היתה נכונה, אבל חוק בייס נתן לו אפשרות להפיק לפיהן את ההשערה הכללית, שהתבררה כמדויקת.

מהי משמעות הדבר? אם נצליח לשער את מלוא ההשערות למיקומו של האל, נוכל אולי למצוא אותו אם הוא קיים היכן שהוא. ואז תהא Y ההסתברות למתן החסד האלוהי, מפני ש-X יהיה בעל ערך של 100 אחוזים. עד אז, נקווה שההשגחה העליונה תמחל לנו על עוונותינו לפי גישתו הבלתי-חישובית של תומאס בייס: אלוהים רוצה שנהיה מאושרים!

לקריאה נוספת:

Thomas Bayes. 1731. Divine Benevolence, or an Attempt to Prove That the Principal End of the Divine Providence and Government is the Happiness of His Creatures.

Thomas Bayes. 1763. An Essay towards solving a Problem in the Doctrine of Chances.

Rufus Philip Isaacs. 1965. Differential Games: A Mathematical Theory with Applications to Warfare and Pursuit, Control and Optimization.

Shmuel Gal. 1979. Search games with mobile and immobile hider. SIAM Journal on Control and Optimization, Vol. 17, Issue 1: 99-122

Flora Lewis. 1987. One of Our H-Bombs is Missing.

מילות מפתח: תומאס בייס, תומס בייס, חוק בייס, משפט בייס, משחק המפלצת והנסיכה, איך למצוא מפתח שאבד, הסתברות מותנית.

מודעות פרסומת

יצירה של אתר חינמי או בלוג ב־WordPress.com.
Entries וכן תגובות feeds.