סודוקו קסם חלקי כאתגר למתמטיקאים

14/07/2005 ב- 13:52 | פורסם בהשוליים המתרחבים של קו אינסופי | סגור לתגובות על סודוקו קסם חלקי כאתגר למתמטיקאים
תגים:

החלטתי להציב אתגר אמיתי למתמטיקאים מן הסוג שעוד לא התנסו בו עד כה: למצוא כמה גרסאות של ריבועים לטיניים מדרגה 9 יש מן הסוג של סודוקו קסם חלקי. והאם יש נוסחה שתוכל למצוא כמה גרסאות יש לסודוקו קסם חלקי, כאשר מדובר בריבוע לטיני מדרגה X².


החלטתי היום להציב אתגר אמיתי למתמטיקאים מן הסוג שעוד לא התנסו בו עד כה.

במשך היממה האחרונה ביקרתי בעשרות אתרי אינטרנט כדי לוודא אם מישהו הגה את האתגר לפניי, ונתברר לי שלא. אם אני טועה, וביממה הקרובה פלוני ישלח לי לינק המוכיח את הדבר, אזי אודיע לכול כי הגיית האתגר אינה בלעדית, ובכל זאת תהיו מוזמנים להתנסות בו.

כדי שהאתגר לא ישאר רק בתוך ארכיון "רשימות", אתם מוזמנים להפיץ אותו בכל הפורומים האפשריים. אין צורך לומר מי פיתח את האתגר המתמטי הזה. די בכך שיפתרו אותו ביום מן הימים.

בשבועות האחרונים הוצפה המדינה בתשבצי סודוקו בכל מקום אפשרי. מתמטיקאים נלהבים אצו-רצו להסביר את ההיגיון שעומד מאחורי המשחק. מוחי, משום מה, מתקשה להסתפק בתשבצים שאינם דורשים מחשבה מעמיקה, ולכן לא נלהבתי יתר על המידה מסודוקו. אני תמיד מנסה לפתור תשבצי היגיון, ועד היום לא הצלחתי לפתור אפילו אחד. זהו רגע כואב להכיר בכך שישנה מגבלה. נראה שכבר לא אסיים ריצת מרתון מתחת לשעתיים, אפשר שלא אצליח לרוץ את המרחק גם ביומיים. גם תשבצי היגיון כבר לא אפתור לעולם.

הריבוע הלטיני שלפניכם הוא סודוקו קסם חלקי. כללי הסודוקו דורשים, כי בכל אחד מתשעת הריבועים הפנימיים, ישובצו תשעה מספרים שונים, מבלי שאף מספר יופיע בו פעמיים. אפשר להבחין כי הריבוע הפנימי מצד ימין למעלה הוא ריבוע קסם מדרגה 3. סכומי המספרים בכל שורה, עמודה או באלכסון של ריבוע זה שווים 15. שאר הריבועים הפנימיים הם מסוג ריבוע קסם חלקי. רק בכל שורה או עמודה הסכום שווה 15 ואילו באלכסון הסכום משתנה. סודוקו קסם חלקי הוא אם כן, סודוקו שהריבועים הפנימיים שלו הם ריבועי קסם חלקיים.

האתגר הפשוט שעומד בפניכם הוא למצוא כמה גרסאות של ריבועים לטיניים מדרגה 9 יש מן הסוג של סודוקו קסם חלקי. למשל, אם אפשרי שהשורה השנייה מלמעלה תבוא במקומה של השורה העליונה הרי שמדובר בגרסה נוספת. אתגר נוסף שעומד בפניכם הוא למצוא סודוקו קסם חלקי אמיתי. כלומר, גרסה שבה כל הריבועים הפנימיים ממלאים תנאים של ריבוע קסם חלקי, אך ללא מקרה פרטי של ריבוע קסם אמיתי (כמו בריבוע הפנימי העליון). ובמילים אחרות: פלוני טוען כי בריבוע קסם חלקי מדרגה X יש  X² גרסאות ובהן מקרה פרטי אחד של ריבוע קסם אמיתי. הנכון דבר או שאינו נכון? האם יש יותר? אתגר נוסף וקשה יותר הוא להוכיח או לסתור כי קיימת נוסחת סודוקו קסם חלקי, וזאת אבהיר בהמשך דבריי.

הגרסה הפופולרית של הסודוקו היא ריבוע לטיני מדרגה 9. הווה אומר, הוא מורכב מ-9X9 משבצות, ולפיכך גם מתשעה ריבועים פנימיים בני תשע משבצות. משחקי סודוקו קשים יותר מורכבים מ-16X16 משבצות וכוללים 16 ריבועים פנימיים. סודוקו קסם חלקי יכול לכלול כל X² של ריבועים פנימיים בתנאי ש-X גדול מ-2. כל שנדרש הוא להמיר את המספרים הפנימיים של ריבוע קסם חלקי למספרים 1 עד X.

הסודוקו דורש שימוש בתשע מספרים שונים. הבחירה במספרים 1-9 נעשית רק בשל קלות השימוש. לפניכם שני ריבועי קסם אמיתיים מדרגה 4, ומתחתם אותם הריבועים כאשר המספרים 1-16 מייצגים את המספרים הקודמים. אפשר להבחין שישנם ריבועי קסם שונים בדרגה 4, ובכל אחד מהם הסכום שונה. האם לאחר שאנו מחליפים את המספרים המצויים במשבצות במספרים המייצגים 1-16, אנו עדיין מקבלים 16 גרסאות של ריבועי קסם חלקי (כולל המקרה הפרטי), או משום שמדובר בריבועי קסם שונים, אז מספר הגרסאות גדול מ-16 בהכרח? נסו והיווכחו. לדוגמא: פלוני טוען כי בריבוע קסם חלקי מדרגה X יש X² גרסאות ובהן מקרה פרטי אחד של ריבוע קסם אמיתי, וכלל לא משנה כמה ריבועי קסם מדרגה X קיימים. האם יש צדק בדבריו?

עתה, לאחר שמצאתם את מספר הגרסאות שיש לסודוקו קסם חלקי מדרגה 9, נסו למצוא זאת גם בדרגה 16. מובן שהדבר תלוי בשני דברים: כמה ריבועי קסם מדרגה 4 ישנם, והאם הם עדיין שונים זה מזה לאחר שמחליפים אותם במספרים מייצגים מ-1-16. כמו כן, נסו זאת בסודוקו קסם חלקי בדרגה 25 והלאה. האם יש נוסחה שתוכל למצוא כמה גרסאות יש לסודוקו קסם חלקי, כאשר מדובר בריבוע לטיני מדרגה X²? הניבוי שלי הוא שישנה נוסחה כזו. כל שנותר לכם הוא לאמת זאת או לסתור את טענתי.

בהצלחה.

ראו גם:

הסודוקו של פישר
ניחושו המוטעה של אוילר

מילות מפתח: סודוקו, ריבוע קסם

מודעות פרסומת

יצירה של אתר חינמי או בלוג ב־WordPress.com.
Entries וכן תגובות feeds.