האם ישנה נוסחה למציאת שורש ריבועי?

14/07/2005 ב- 16:48 | פורסם בהשוליים המתרחבים של קו אינסופי | סגור לתגובות על האם ישנה נוסחה למציאת שורש ריבועי?

מהו שורש ריבועי? המספר 9 הוא שורש ריבועי של המספר 81, מכיוון ש-81 הוא 92. נגדיר מספר דו-חזקתי כמספר שלם שיש לו שורש ריבועי שלם. 81 הוא, אפוא, מספר דו-חזקתי (X2). לעומת זאת, 80 אינו מספר דו-חזקתי. לכאורה, אין נוסחה היכולה לחשב שורש ריבועי של מספר דו-חזקתי, אך האם נכון הוא הדבר?

להלן כמה משפטים להנאתכם:

– תוצאת מכפלתו של מספר אי-זוגי במספר זוגי היא מספר זוגי: 3 • 6 = 18
– תוצאת מכפלתו של מספר אי-זוגי במספר אי-זוגי היא מספר אי-זוגי: 3 • 7 = 21
– תוצאת מכפלתו של מספר זוגי במספר זוגי היא מספר זוגי: 6 • 4 = 24
– תוצאת החסרתו של מספר אי-זוגי ממספר אי-זוגי היא מספר זוגי: 19-9 = 10
– תוצאת החסרתו של מספר זוגי ממספר אי-זוגי היא מספר אי-זוגי: 20-9 = 11
– תוצאת החסרתו של מספר זוגי ממספר זוגי היא מספר זוגי: 12-8 = 4
– תוצאת החסרתו של מספר אי-זוגי ממספר זוגי היא מספר אי-זוגי: 13-6 = 7
– למספר דו-חזקתי אי-זוגי יש שורש ריבועי אי-זוגי: 52 = 25
– למספר דו-חזקתי זוגי יש שורש ריבועי זוגי: 62 = 36
– אף מספר דו-חזקתי אי-זוגי אינו מסתיים בספרה 3
– מספר זוגי נמצא בין שני מספרים אי-זוגיים: 7, 8, 9
– מספר אי-זוגי נמצא בין שני מספרים זוגיים: 4, 5, 6
– בין מספר דו-חזקתי אי-זוגי ישנם שני מספרים דו-חזקתיים זוגיים: 16, 25, 36
– בין מספר דו-חזקתי זוגי ישנם שני מספרים דו-חזקתיים אי-זוגיים: 9, 16, 25
– כל מספר הוא שורש ריבועי של מספר דו-חזקתי
– כל מספר זוגי הוא סכום של שני מספרים זהים: 3+3 = 6
– שורש ריבועי של מספר דו-חזקתי זוגי הוא סכום של שני מספרים זהים: 8+8 = 16
– מספר אי-זוגי מורכב משני מספרים עוקבים: 5+6 = 11
– שורש ריבועי של מספר דו-חזקתי אי-זוגי הוא סכום של שני מספרים עוקבים: 2+3 = 5
– תוצאת חלוקתו ב-4 של כל מספר דו-חזקתי זוגי היא מספר דו-חזקתי אחר: 1936/4 = 484
– מכפלת השורש הריבועי ב-2 של תוצאת החלוקה ב-4 של מספר דו-חזקתי זוגי, מהווה את השורש הריבועי של המספר הדו-חזקתי הזוגי:
484/4 = 121 = 112
11 • 2 = 22
222 = 484
– מכפלת השורש הריבועי ב-4 של תוצאת החלוקה ב-16 ללא שארית של מספר דו-חזקתי זוגי, מהווה את השורש הריבועי של המספר הדו-חזקתי הזוגי:
20736/16 = 1296 = 362
36 • 4 = 144
1442 = 20736

לפי שני המשפטים האחרונים, ישנה שיטה למצוא שורש ריבועי של מחצית מן המספרים הדו-חזקתיים הזוגיים, או רבע מכלל המספרים הדו-חזקתיים. כמו כן, די בכך שתוצאת חלוקה של מספר זוגי ב-4 היא ללא שארית, כדי להצביע כי יתכן שהוא מספר דו-חזקתי, קרי שיש לו שורש ריבועי.

נציג דוגמה למען התלמידים: הבוקר, לאחר שזללתם את הלחמנייה ושתיתם את שקית השוקו בקייטנה, נתברר לכם שהביקור הצפוי בבריכה התבטל. מה תעשו? אתם שואלים את עצמכם. הרי כל חבריכם  יושבים עכשיו מול הטלוויזיה וצופים בפינוקיו, נילס הולגרסון והלב (כל יום בערוץ מספר אחד בארץ). מיד אתם אצים-רצים הביתה ומגלים ששמשון ויובב חטפו את בלה, שנילס נתפס על ידי השועל, והקוף של מרקו הציל גור של שועל. בלית ברירה, אתם מכבים את הטלוויזיה ופותחים את חוברות החשבון של תמר פיש, שאמא קנתה לכם לחופש הגדול. אך אויה, לאן נעלם פלוטו…כלומר, המחשבון? הכיצד נמצא שורש ריבועי של 20736?

את הפעולה הזו כולם יודעים לעשות: 20736/16 = 1296. אם ישנה גם שיטה שמאפשרת למצוא שורש ריבועי של מספר דו-חזקתי אי-זוגי, או אז כל שנדרש הוא לבדוק האם המספר הדו-חזקתי הוא זוגי או אי-זוגי. אם המספר הוא אי-זוגי יש לפעול לפי השיטה האי-זוגית, ואם הוא מספר הוא זוגי יש לחלקו ב-4. אם תוצאת החלוקה היא מספר שהינו אי-זוגי, שוב יש להשתמש בשיטה האי-זוגית ולהגיע לשורש הריבועי. אם תוצאת החלוקה היא זוגית, שוב יש לחלק ב-4 ואת שורש תוצאת החלוקה יש להכפיל ב-4, ואז נקבל את השורש הריבועי. מכל מקום, הדרך לנסח שיטה פשוטה למציאת השורש הריבועי היא להיעזר במשפטים שהוצגו.

גם כולם יודעים ששורש ריבועי של 1296 הוא 36, ואם לא, אז רצוי לשנן את כל התוצאות של המספרים מ-1 עד 100 בחזקת 2.

אם לא יודעים, אזי מחלקים את 1296 ב-4. התוצאה היא 324. השורש הריבועי של 324 הוא 18. והנה 2 • 18 = 36.

את הפעולה הזו כולם יודעים לעשות: 4 • 36 = 144

ומהו 144? נכון, השורש הריבועי של 20736.

עוד כמה תגליות על מספרים דו-חזקתיים זוגיים:

כאמור, כל מספר שיש לו שורש ריבועי הוא מספר דו-חזקתי. מספרים דו-חזקתיים זוגיים הם: 4, 16, 64 …

עד כמה שידיעתי משגת, לא רבים מתעניינים במספרים הללו בהיותם בתבנית הייחודית הזאת כסדרה (ואינני מתכוון לבינאריים). ואני שואל מדוע? ככל הנראה, אפילו המצאתי את המונח הקרוי מספרים דו-חזקתיים. על כל פנים, הנה תכונה אחת מיני רבות לגביהם, אשר אין לה חשיבות מרובה, מלבד עבור אלה החובבים מספרים מחכימים, כל עוד אינם קשורים בנומרולוגיה.

2+1+1 = 4
8+4+2+1+1 = 16
32+16+8+4+2+1+1 = 64
128+64+32+16+8+4+2+1+1 = 256
512+256+128+64+32+16+8+4+2+1+1 = 1024

שימו נא לב כי בדומה למספרים המושלמים (28 הוא מספר מושלם הואיל והוא סכום מחלקיו, מלבד המספר עצמו: 14+7+4+2+1) – אך בהבדל יחיד – מספרים דו-חזקתיים זוגיים הם סכום מחלקיהם עם תוספת של המספר 1. מכיוון שמדובר במספרים המהווים גם 2a, כאשר a מייצג כל מספר מ-2 ואילך, כל עוד הינו זוגי, הרי שכל מספר דו-חזקתי זוגי מורכב מ-a+1 חלקים.

המהומה הגדולה

ישנה אגדה פרועה לפיה הדברים הכתובים בדף זה אינם נכונים או אינם מדויקים. מבחינה עובדתית זהו שקר מטופש, וכל אחד מוזמן לבדוק בעצמו. הרמה הנדרשת לוודא זאת היא של תלמיד בבית ספר יסודי. מדובר בשרבוטים היתוליים שפרסמתי כאן מבלי כל שאיפה דלה שיתפרסמו במקום אחר. בבלוג שכן באתר 'רשימות', בו דנתי בסוגיה אחרת באחד הפוסטים, נשאלתי לגבי שרבוטים אלה, ומדוע אי אפשר להפיק מהם נוסחה למציאת שורש ריבועי (בפתח דבריי כאן תהיתי האם ישנה נוסחה כזאת, כהמשך לכותרת, ומכיוון שלא דנתי בה, הופנתה אליי השאלה). השבתי כי כל עוד אין נוסחה למציאת מספרים ראשוניים, אזי לפי השיטה שמוצגת כאן, לא ניתן לפתח נוסחה כללית למציאת שורש ריבועי. אחד מקוראי אותו בלוג טען אז שאינו פוסל את קו המחשבה שלי, אבל אני נאיבי מדי ביחס לאי-המגבלות שמציבה המתמטיקה, וכי הנוסחה שאותה הנני מבקש אינה ברת-השגה. הוא ייחס את הנאיביות להיעדר השכלה גבוהה בענפי המתמטיקה, ואני הסכמתי לדבריו באופן כללי. שנה אחר כך, התפרסמו שרבוטים אלה באתר YNET, במסגרת הרשאה כללית להשתמש בתוכן שכבר פרסמתי ב'תיבה הלבנה'.

איש לא פנה אליי לפני הפרסום, ואם היה פונה, ברי כי לא הייתי מאשר את פרסום השרבוטים – לא כפי שהם מופיעים ברשימה זו, ולא בגרסתם המפוזרת באתר YNET, שמורכבת מטלאים שכתבתי כאן ובכמה תגובות בבלוג השכן. הדוגמה השטותית על אודות התלמידים בקייטנה מוכיחה את טענתי זו. הריהי הלצה גמורה שאין לה כל ערך אחר ולא היה מקום להפיצה ברבים. יש לומר כי אינני יודע מי פרסם את השרבוטים. היו מקרים שעורך אלמוני הטליא שבבי מידע מן 'התיבה הלבנה' לתוך כתבות אחרות, אם מצא זיקתם אליהן. אתר YNET מסיבותיו שלו משאיר את הכתבה על כנה, אפילו שהנני מסתייג מפרסומה מחוץ לבלוג. אין להאשים עורך זה או אחר, אלא את מדיניות האתר בלבד.

ביחס לטענות האחרות:

את הכותרות והפתיחים בכתבות המתפרסמות באתר YNET רושמים העורכים ולא תמיד הם משקפים את התוכן המצוי בהן. בכותרת הכתבה נרשם: האם יש שיטה למציאת שורש ריבועי? ומהי התשובה: ישנן שיטות למציאת שורש ריבועי. אני מכיר היטב כמה מהן ואפילו מציג גרסה היתולית כאן. ואילו כותרת רשימתי היתה ונותרה: האם יש נוסחה למציאת שורש ריבועי? ומהי התשובה: אין נוסחה כזאת (לסובלים מקשיי תפישה, משוואה ריבועית היא 'נוסחה' לפי כוונתי). לפיכך, אין לטעון כלפיי שום טענה ביחס לאי-ידיעה אודות השיטות לסוגיהן. זוהי רק כותרת באתר YNET וכך יש להתייחס לסוגיה.

את המונח מספר דו-חזקתי אני המצאתי כטוב ליבי. כך רשמתי. על כן, אינני מבין את הביקורת. האם אסור לי להמציא מונח שישמש אותי לצורך שרבוטיי? האם אנו משתתפים בעלילה של 1984 ונאסר עלינו להשתמש במונחים שהממשלה אינה מתירה?

ביחס לסדרה "הנומרולוגית" אני התבדחתי, כמובן. בזמן שחיברתי את השרבוטים הללו התנהלו בויקיפדיה ויכוחים עזים בדפי שיחה ומלחמות עריכה, נגד אלה שרצו להוסיף תוכן נומרולוגי לערכי המספרים והספרות, ואני הייתי מבודח בגללם.

"חידת המספרים הראשוניים" היא כינוי פרוזאי שהענקתי בבלוג השכן, אך במילים אחרות, ביחס לקשיים באיתור המספרים הראשוניים, שמונעים את התפתחות הנוסחה למציאת שורש ריבועי לפי השיטה ההיתולית שהצגתי בדף זה. כתבתי שם בלשון הזאת: "מספרים ראשוניים עדיין מהווים חידה".

סיכומו של דבר, אשריני כי כל מלעיזיי נתלים באופן חסר פרופורציות ברשימה היתולית אחת ויחידה מתוך מאות מאמרים שחיברתי, כדי להוכיח לעולם כולו שאני כסיל גמור. בין מבקריי מצויים גם הדיוטות שכבר אינם זוכרים מהו לוח הכפל, וספק רב אם אי פעם ידעו לחשב לפיו, אבל בכל פינה ברשת הם מדווחים אודות "הטיפש ההוא שלא יודע מה זה שורש ריבועי". לאן הגענו?

חרף התביעות המחוצפות שאסיר רשימה זו מן הבלוג, אני גאה בה מפני שהיא מוכיחה עד כמה מטומטמים מסוגלים להיות האנשים שמתייחסים אליה ברצינות.

קראו גם את רשימתי:

האם ריריות יודעות להוציא שורש ריבועי?

מודעות פרסומת

בלוג בוורדפרס.קום.
Entries וכן תגובות feeds.